计算几何笔记

admin · 发表于 2024-3-16 09:08:26

向量
常规操作
struct Vector {
double x, y;
Vector(double x = 0, double y = 0) : x(x), y(y) {};
Vector operator + (const Vector &A) const {
return Vector(x + A.x, y + A.y);
}//向量的加法
Vector operator - (const Vector &A) const {
return Vector(x - A.x, y - A.y);
}//减法
Vector operator * (const double &A) const {
return Vector(x * A, y * A);
}//数乘
Vector operator / (const double &A) const {
return Vector(x / A, y / A);
}//数除
bool operator == (const Vector &A) const {
return dcmp(x - A.x) == 0 && dcmp(y - A.y) == 0;
}//相等
};
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向量的极角
极角：这里指从$x$轴旋转到向量方向的弧度
double PolarAngle(Vector A) {
return atan2(A.y, A.x);
}//向量的极角
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向量的旋转
若向量$(x, y)$旋转角度为$a$，则旋转后的向量为$(xcosa - ysina, y cosa + xsina)$
证明：
设旋转之前的向量的极角为$t$，半径为$r$
那么
$$x = rcost$$
$$y = rsint$$
旋转时候的向量为
$$x' = rcos(t + a) = r(costcosa - sintsina) = xcosa - ysina$$
$$y' = rsin(t + a) = r(sintcosa + costsina) = ycosa + xsina$$
Vector rotate(Vector &A, double a) {
return A = Vector(A.x * cos(a) - A.y * sin(a), A.x * sin(a) + A.y * cos(a));
}//向量旋转，a为弧度
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向量的点积
$a \cdot b = |a||b|cos<a,b>$
两向量的点积得到的是标量，即一个向量的模长乘另一个向量在该向量上正投影的数量
double Dot(Vector A, Vector B) {
return A.x * B.x + A.y * B.y;
}//两向量点积
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向量的叉积
$a \times b = |a||b| sin<a,b>$
两向量叉积得到的是向量，在二维平面中得到的是三维空间中与这两个向量垂直的向量
在平面中，向量$v$和$w$的叉积等于$v$和$w$组成的三角形的有向面积的两倍
记$cross(v,w)$表示两向量的叉积，若$cross(v,w) > 0 $则说明$w$在$v$的左侧，否则$w$在$v$的右侧
double Cross(Vector A, Vector B) {
return A.x * B.y - A.y * B.x;
}//两向量叉积
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计算三角形面积
直接利用叉积的定义
double Area(Point A, Point B, Point C) {
return fabs(Cross(B - A, C - A) / 2);
}//计算三角形的面积
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计算向量的长度
直接利用点积的定义
double Length(Vector A) {
return sqrt(Dot(A, A));
}//计算向量的长度
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计算向量的夹角
同样直接利用点积的定义
double Angle(Vector A, Vector B) {
return acos(Dot(A, B) / Length(A) / Length(B));
}//计算向量的夹角
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线段
判断两直线的相对位置
判断$P采用1P采用0$与$P采用1P采用2$的相对位置关系，可以转化为判断$P采用1P采用0$与$P采用2P采用0$叉积的正负性
int Direction(Vector P1, Vector P2, Vector P0) {
int opt = Cross(P1 - P0, P2 - P0);
return dcmp(opt);
}//判断P1-P0,P1-P2的相对位置关系，-1为逆时针，1为顺时针(P1P0顺时针旋转到P1P2)，0为共线
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判断两直线的交点
尼玛看不懂
Point GetLineIntersection(Point P, Vector V, Point Q, Vector W) {
Vector u = P - Q;
double t = Cross(W, u) / Cross(V, W);
return P + V * t;
}//判断两直线(P + tv,Q + tW)的交点(看不懂直接上y = kx + b吧)
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计算点到直线的距离
利用叉积算出他们围城的平行四边形的面积，再除以底，高即为距离
double DistanceToLine(Point P, Point A, Point B) {
Vector v1 = B - A, v2 = P - A;
return fabs(Cross(v1, v2)) / Length(v1);
}//计算点P到直线AB的距离（平行四边形面积 / 底）
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计算点到线段的距离
这个要分三种情况讨论
double DistanceToSegment(Point P, Point A, Point B) {
if(A == B) return Length(P - A);
if(dcmp(Dot(P - A, B - A)) < 0) return Length(P - A);
if(dcmp(Dot(P - B, A - B)) < 0) return Length(P - B);
return DistanceToLine(P, A, B);
}//计算点P到线段AB的距离
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多边形
计算多边形的有向面积
将$n$边形拆成三角形
double PolygonAread(Point *P, int N) {
double area = 0;
for(int i = 1; i <= N - 1; i++)
area += Cross(P[i] - P[0], P[i + 1] - P[0]);
return area / 2;
}//计算多边形的有向面积
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判断点是否在多边形内部
基本思想：从点$P$向右做一条射线，判断从无限远处到点$P$，射线穿过了几条边
有两种需要特判的情况
1.射线与某条边重合，该边不统计入答案
2.射线与端点重合
此时，我们钦定边是由编号小的连向编号大的
若边从上到下穿过了射线，包含终点不包含起点
若边从下到上穿过了射线，包含起点不包含重点
int isPointInPolygon(Point P, Point Poly[], int N) {
int wn = 0, k, d1, d2;
for(int i = 0; i < N; i++) {
if(!dcmp(DistanceToSegment(P, Poly[i], Poly[(i + 1) % N]))) return -1;
//点在线段的边界上
k = dcmp(Cross(Poly[(i + 1) % N] - Poly[i], P - Poly[i]));
d1 = dcmp(Poly[i].y - P.y);
d2 = dcmp(Poly[(i + 1) % N].y - P.y);
if(k > 0 && d1 <= 0 && d2 > 0) wn++;//点在左，下上穿
if(k > 0 && d2 <= 0 && d1 > 0) wn++;//点在右，上下穿
return wn & 1; // 1：内 2：外
}
}//判断点是否在多边形内部
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对踵点
定义：若点对$(a, b)$均为多边形上的点且存在过$a$点的切线与过$b$点的切线平行，则成$(a, b)$为多边形上的对踵点
计算方法：
设$p采用{ymin}$表示$y$最小的点，$q采用{ymax}$表示$y$最大的点，显然它们是一对对踵点
接下来以相同的角速度逆时针旋转两条射线，当其中的一条穿过多边形的下一个端点$p采用{next}$时，用$p采用{next}$作为新的端点，同时与$q采用{pre}$构成新的对踵点。
在这个算法中，我们快速的找出两条射线究竟是哪条先穿过下一个端点，我们可以用叉积来优化这一过程。
求凸多边形的直径
定义：凸多边形的直径为多边形的上最远的点对的距离
很显然，直径一定是在对踵点处取得，直接枚举对踵点即可
double RotatingCaliper采用diameter(Point Poly[], int N) {
int p = 0, q = N - 1, fl;
double ret = 0;
for(int i = 0; i < N; i++) {
if(Poly[i].y > Poly[q].y) q = i;
if(Poly[i].y < Poly[p].y) p = i;
}
for(int i = 0; i < N * 3; i++) {
ret = max(ret, Length(Poly[p % N] - Poly[q % N]));
fl = dcmp(Cross(Poly[(p + 1) % N] - Poly[p % N], Poly[q % N] - Poly[(q + 1) % N]));
if(!fl) {
ret = max(ret, Length(Poly[p % N] - Poly[(q + 1) % N]));
ret = max(ret, Length(Poly[q % N] - Poly[(p + 1) % N]));
p++, q++;
} else {
if(fl > 0) p++;
else q++;
}
}
}//计算多边形直径
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凸多边形的宽度
凸多边形最小面积外接矩形
凸包-Andrew算法
首先按照$x$为第一关键字，$y$为第二关键字从小到大排序，并删除重复的点
用栈维护凸包内的点
1、把$p采用1, p采用2$放入栈中
2、若$p采用{i{(i > 3)}}$在直线$p采用{i - 1}, p采用{i - 2}$的右侧，则不断的弹出栈顶，直到该点在直线左侧
3、此时我们已经得到了下凸包，那么反过来从$p采用n$再做一次即可得到下凸包
题目链接
// luogu-judger-enable-o2
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int eps = 1e-10;
int dcmp(double x) {
if(fabs(x) < eps) return 0;
return x < 0 ? -1 : 1;
}
#define Point Vector
struct Vector {
double x, y;
Vector(double x = 0, double y = 0) : x(x), y(y) {};
bool operator < (const Vector &rhs) const {
return dcmp(x - rhs.x) == 0 ? y < rhs.y : x < rhs.x;
}
Vector operator - (const Vector &rhs) const {
return Vector(x - rhs.x, y - rhs.y);
}
};
double Cross(Vector A, Vector B) {
return A.x * B.y - A.y * B.x;
}
double dis(Point a, Point b) {
return sqrt((a.x - b.x) * (a.x - b.x) + (a.y - b.y) * (a.y - b.y));
}
int N;
Point p[10001], q[10001];
int top;
void Push(Point p) {
while(Cross(q[top] - q[top - 1], p - q[top - 1]) < 0) top--;
q[++top] = p;
}
void Andrew() {
q[0] = q[top = 1] = p[1];
for(int i = 2; i <= N; i++) Push(p[i]);
for(int i = N - 1; i; --i) Push(p[i]);
}
int main() {
scanf("%d", &N);
for(int i = 1; i <= N; i++) scanf("%lf%lf", &p[i].x, &p[i].y);
sort(p + 1, p + N + 1);
Andrew();
double ans = 0;
for(int i = 1; i < top; i++)
ans += dis(q[i], q[i + 1]);
printf("%.2lf", ans);
return 0;
}
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要做的题
POJ 2187 凸多边形直径
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const int eps = 1e-10;
int dcmp(double x) {
if(fabs(x) < eps) return 0;
return x < 0 ? -1 : 1;
}
#define Point Vector
struct Vector {
double x, y;
Vector(double x = 0, double y = 0) : x(x), y(y) {};
Vector operator + (const Vector &A) const {
return Vector(x + A.x, y + A.y);
}//向量的加法
Vector operator - (const Vector &A) const {
return Vector(x - A.x, y - A.y);
}//减法
Vector operator * (const double &A) const {
return Vector(x * A, y * A);
}//数乘
Vector operator / (const double &A) const {
return Vector(x / A, y / A);
}//数除
bool operator == (const Vector &A) const {
return dcmp(x - A.x) == 0 && dcmp(y - A.y) == 0;
}//相等
};
double PolarAngle(Vector A) {
return atan2(A.y, A.x);
}//向量的极角
Vector rotate(Vector &A, double a) {
return A = Vector(A.x * cos(a) - A.y * sin(a), A.x * sin(a) + A.y * cos(a));
}//向量旋转，a为弧度
double Dot(Vector A, Vector B) {
return A.x * B.x + A.y * B.y;
}//两向量点积
double Cross(Vector A, Vector B) {
return A.x * B.y - A.y * B.x;
}//两向量叉积
double Area(Point A, Point B, Point C) {
return fabs(Cross(B - A, C - A) / 2);
}//计算三角形的面积
double Length(Vector A) {
return sqrt(Dot(A, A));
}//计算向量的长度
double Angle(Vector A, Vector B) {
return acos(Dot(A, B) / Length(A) / Length(B));
}//计算向量的夹角
int Direction(Vector P1, Vector P2, Vector P0) {
int opt = Cross(P1 - P0, P2 - P0);
return dcmp(opt);
}//判断P1-P0,P1-P2的相对位置关系，-1为逆时针，1为顺时针(P1P0顺时针旋转到P1P2)，0为共线
Point GetLineIntersection(Point P, Vector V, Point Q, Vector W) {
Vector u = P - Q;
double t = Cross(W, u) / Cross(V, W);
return P + V * t;
}//判断两直线(P + tv,Q + tW)的交点(看不懂直接上y = kx + b吧)
double DistanceToLine(Point P, Point A, Point B) {
Vector v1 = B - A, v2 = P - A;
return fabs(Cross(v1, v2)) / Length(v1);
}//计算点P到直线AB的距离（平行四边形面积 / 底）
double DistanceToSegment(Point P, Point A, Point B) {
if(A == B) return Length(P - A);
if(dcmp(Dot(P - A, B - A)) < 0) return Length(P - A);
if(dcmp(Dot(P - B, A - B)) < 0) return Length(P - B);
return DistanceToLine(P, A, B);
}//计算点P到线段AB的距离
double PolygonAread(Point *P, int N) {
double area = 0;
for(int i = 1; i <= N - 1; i++)
area += Cross(P[i] - P[0], P[i + 1] - P[0]);
return area / 2;
}//计算多边形的有向面积
int isPointInPolygon(Point P, Point Poly[], int N) {
int wn = 0, k, d1, d2;
for(int i = 0; i < N; i++) {
if(!dcmp(DistanceToSegment(P, Poly[i], Poly[(i + 1) % N]))) return -1;
//点在线段的边界上
k = dcmp(Cross(Poly[(i + 1) % N] - Poly[i], P - Poly[i]));
d1 = dcmp(Poly[i].y - P.y);
d2 = dcmp(Poly[(i + 1) % N].y - P.y);
if(k > 0 && d1 <= 0 && d2 > 0) wn++;//点在左，下上穿
if(k > 0 && d2 <= 0 && d1 > 0) wn++;//点在右，上下穿
return wn & 1; // 1：内 2：外
}
}//判断点是否在多边形内部
int main() {
return 0;
}
https://cloud.tencent.com/developer/article/1172724?areaId=106001

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