超详细的凸包问题的分治算法说明及C++实现

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凸包问题是一个经典的计算机科学和几何学问题，旨在找到一组点集的最小凸多边形，使得点集中所有点都位于该多边形内部或边界上。分治法是一种解决凸包问题的有效策略，其中最著名的算法是Graham扫描法和Jarvis步进法之外的另一种方法——“Chan's Algorithm”（陈氏算法）。尽管Chan的算法不是典型的分治算法，但其思想启发了我们讨论分治策略。不过，为了响应您的要求，我将详细介绍一种基于分治思想的凸包算法——Andrew's Algorithm的变种，并给出一个简化的C++实现示例。

分治法解决凸包问题的基本思路
分治法解决凸包问题的思路是将点集分割成较小的子集，分别求解这些子集的凸包，最后合并这些凸包得到整个点集的凸包。关键在于如何高效地分割点集并合并凸包结果。

示例算法：分治法变种（简化版）
这里介绍的是一种简化的分治策略，其核心步骤如下：

选择一个极点：选择一个具有最低y坐标（如果有多个，则选择x坐标最小的）的点P作为极点，这样可以保证分割后的子问题相对均匀。
分割点集：根据点相对于P的角度（极角）将所有点分为两组，一组在P的左侧，另一组在右侧。这可以通过比较向量(x采用i - P采用x, y采用i - P采用y)与x轴的夹角实现。
递归求解：对左右两部分分别递归地求解凸包。
合并凸包：最后，合并两个子凸包和P点，形成最终的凸包。合并时，需要小心处理可能的重叠部分。
C++实现示例
请注意，下面的代码是一个简化的示例，旨在展示基本思想，并未优化为工业级或竞赛级算法，尤其是合并步骤可能需要更精细的处理来优化效率。

1. #include <iostream>
2. #include <vector>
3. #include <algorithm>
4. #include <cmath>
5. #include <limits>
7. using namespace std;
9. // 结构体表示一个点
10. struct Point {
11.     double x, y;
12.     bool operator<(const Point& other) const {
13.         return y < other.y || (y == other.y && x < other.x);
14.     }
15. };
17. // 计算两点之间的向量叉乘
18. double crossProduct(const Point& O, const Point& A, const Point& B) {
19.     return (A.x - O.x) * (B.y - O.y) - (A.y - O.y) * (B.x - O.x);
20. }
22. // 合并两个凸包
23. vector<Point> mergeConvexHulls(vector<Point> leftHull, vector<Point> rightHull, const Point& P) {
24.     vector<Point> result;
25.     int i = 0, j = 0;
26.     while (i < leftHull.size() && j < rightHull.size()) {
27.         if (crossProduct(P, leftHull[i], rightHull[j]) > 0) {
28.             result.push采用back(leftHull[i++]);
29.         } else {
30.             result.push采用back(rightHull[j++]);
31.         }
32.     }
33.     while (i < leftHull.size()) result.push采用back(leftHull[i++]);
34.     while (j < rightHull.size()) result.push采用back(rightHull[j++]);
35.     return result;
36. }
38. // 分治法求凸包
39. vector<Point> convexHullDivideConquer(vector<Point>& points, Point P) {
40.     if (points.size() <= 3) {
41.         // 基础情况，直接返回凸包（排序后前后的点）
42.         sort(points.begin(), points.end());
43.         return {points.front(), points.back()};
44.     }
45.    
46.     // 分割点集
47.     vector<Point> left, right;
48.     for (const auto& point : points) {
49.         if (point < P || point == P) left.push采用back(point);
50.         else right.push采用back(point);
51.     }
52.    
53.     // 递归求解左右两边
54.     vector<Point> leftHull = convexHullDivideConquer(left, P);
55.     vector<Point> rightHull = convexHullDivideConquer(right, P);
56.    
57.     // 合并凸包
58.     return mergeConvexHulls(leftHull, rightHull, P);
59. }
61. int main() {
62.     vector<Point> points = {{0, 3}, {1, 1}, {2, 2}, {4, 4}, {0, 0}, {1, 2}, {3, 1}, {3, 3}};
63.     Point P = *min采用element(points.begin(), points.end());
64.     vector<Point> hull = convexHullDivideConquer(points, P);
65.    
66.     cout << "Convex Hull Points:\n";
67.     for (const auto& point : hull) {
68.         cout << "(" << point.x << ", " << point.y << ") ";
69.     }
70.     cout << endl;
71.    
72.     return 0;
73. }

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